Ciencia 10 Dic 2012
El rinconcito del Dr. Malcolm

Nuestro corresponsal en Alemania nos explica, a prueba de estudiantes de humanidades, qué es la Teoría del Caos.

Pese a mi entusiasmo a la hora de armar este artículo, tengo que decir a modo de disclaimer que este no es exactamente mi tema de expertise, y que dicho sea de paso, siempre es un desafío hablar de algo bastante abstracto en términos concretos.

Por algún motivo u otro, la Teoría del Caos es algo que le suena de oído a bastante gente, encuentro dos motivos principales:

1. Es cool. Digamos que ya de por sí el nombre de la teoría es un oxímoron, y el imaginario popular le asignó a la gente que trabaja en este tema una imagen de post-motoquero (a la que Jurassic Park ayudó muchísimo, pero hay que decir que los personajes reales que inspiraron a Michael Chrichton son del mismo estilo, por lo cual la percepción era previa).

2. Es cool. Pero en otro sentido: si leías la Muy Interesante en el año 1988 (teníamos dos años, pero vos me entendés) te enteraste de que existía un grupo de científicos a la vanguardia del asunto, que decía que cambios muy pequeños en un sistema podían tener como consecuencia, después de un tiempo, diferencias muy grandes. En definitiva, alguien hizo una teoría matemática y a algún genio del marketing (que en este caso es un científico) se le ocurrió resumir la idea en el concepto de "efecto mariposa". Es cool porque podés hablar de algo complicado a través de una imagen muy simple y porque, a través del mecanismo inverso, podés sostener algunos discursos triviales y cotidianos con la idea de que hay una teoría que se les podría aplicar y te daría la razón. También deja lugar a la optimista idea de que "vos podés hacer la diferencia". Veremos que eso no es tan cierto.

La Teoría del Caos es una rama de lo que se llama Sistemas Dinámicos, así que vamos a hablar también de eso. De hecho, vamos a hablar solamente de eso: la Teoría del Caos por sí sola no es nada, lo que existen son sistemas dinámicos caóticos. Para hacer las cosas un poco más fáciles, vamos a desarrollar el tema en orden histórico.

Para empezar, habría que decir qué es un Sistema Dinámico: simplemente se trata de un conjunto de objetos y una regla que define cómo evolucionan en el tiempo.

Por ejemplo, estás jugando al pool con tus amigos y es tu turno. Tenés un conjunto de objetos: las bolas. Tenés una situación inicial, que sería la posición de las bolas al momento de pegarle a la blanca, y tenés (bueno, tal vez no) reglas que te dicen cómo las bolas se van a mover. Si le pegás en el medio a la blanca, va a ir en línea recta hasta que choque con algo o pierda energía por el rozamiento. Si chocó con algo, tenés reglas que te dicen cómo sigue la bola después de chocar, y así hasta que todas las bolas se queden quietas de nuevo. El sistema se llama dinámico porque las fuerzas que las bolas reciben son las que definen las reglas del movimiento.

Considero establecida la disciplina en su forma moderna en el período 1954-1967, debido a tres importantes publicaciones que se dieron en esa década. El primer trabajo es en realidad una colección de otros tres que fueron publicados por Kolmogorov (1954), Arnold (1963) y Moser (1962), y que se conoce hoy en día como KAM Theorems. El segundo, de 1963, es de Lorenz, sobre lo que él llamó Flujos No-Determinísticos y hoy se conoce como Atractor de Lorenz. El tercero es un trabajo publicado en 1967 por Mandelbrot sobre el concepto de que el perímetro de Gran Bretaña es infinito.

Esto es lo que las personas a las que les encantan las periodizaciones llaman "First Wave of Chaos Theory", para distinguirla de la peor definida "Second Wave", que se desarrolló en los 80 y a principios de los 90.

La historia se remonta bastante más atrás.

El Sistema Solar

Históricamente, hay otro sistema dinámico que siempre les interesó a los físicos más que el pool: el sistema solar. Hay que entender que el problema del sistema solar fue cambiando durante los años, visto que al resolver algunas cuestiones aparecieron otras.

En términos de sistemas dinámicos, el sistema solar está compuesto por el sol, los planetas y todas las cosas sólidas extra, tipo los satélites de los planetas (como la Luna), asteroides, cometas, y demás. Además, tenés las fuerzas a las que están sujetos estos objetos: en este caso, solamente la fuerza de gravedad. Por eso nuestra pequeña historia empieza con Newton.

Newton fue el primero que entendió bien que una fuerza implica un movimiento, o la ausencia del mismo, y explicó que la fuerza de gravedad era la causante de las órbitas elípticas descritas por Kepler algunos años atrás. No sólo eso: Newton fue el primero en plantearse el problema de la estabilidad de las órbitas planetarias. ¿Qué significa esto? La órbita de un planeta sería elíptica si solamente existieran él y el sol, pero al haber otros planetas, éstos ejercen pequeñas fuerzas. Si bien esto no afecta la órbita en el corto plazo, sí lo podría hacer en uno muy largo, si estas pequeñas perturbaciones se acumularan.

Mucho de la física del siglo XVIII pasó por esta cuestión, y para ello se desarrollaron poderosas herramientas que hoy en día se conocen como Mecánica Clásica. Fueron Lagrange y Laplace quienes avanzaron más en este campo, en un período que culmina en 1809 con una Memoire de Lagrange. Básicamente ellos sostienen que las perturbaciones a las órbitas planetarias pueden afectar solamente su excentricidad (cuán ovaladas son) y su inclinación, en cantidades lo suficientemente pequeñas como para garantizar su estabilidad. Sin embargo, estos nuevos cálculos muestran que las órbitas ya no son elípticas, sino que son un poco más complicadas: al movimiento alrededor del sol, se le agrega lo que se llama precesión, que es la rotación de la elipse alrededor del sol (también hay otra precesión, pero no vamos a entrar en detalles).

Figura 1: Órbita planetaria con precesión axial. En el dibujo, la precesión es muy rápida. En realidad es un proceso que dura miles de años, o sea que habría que dibujar miles de círculos alrededor del sol para cumplir un ciclo.

Ahora, hay que decir que Lagrange "hizo trampa" un toque. Las cuentas con respecto a las interacciones entre muchos objetos pueden ser muy complicadas, así que él consideró lo que se llama aproximación a primer orden o linealización: básicamente reemplazás una cuenta complicada por otra simple, con el costo de poder aplicar la solución que obtenemos en un rango de posibilidades más chico. Es un proceso análogo al de hacer un dibujo simple. Si dibujas una cabeza, hacés primero un círculo y después le vas agregando detalles. Por supuesto que no va a ser un dibujo muy bueno, pero no sos pretencioso cuando jugás al Pictionary; ése es el espíritu.

En fin, esto se hace todo el tiempo en Física. ¡Y la mayoría de las veces es algo bueno! El punto es que podés hacerlo sólo si la parte de la cuenta que tirás es más pequeña que la parte "fácil". En el siglo XIX la gente se dio cuenta de que estos términos extra que se descartan (se llaman no-lineales) no son pequeños, y hay que tenerlos en cuenta, porque podrían poner en discusión la estabilidad del sistema solar.

En 1888 Poincaré presentó el resultado de sus estudios respecto a lo que se llama "el problema de los tres cuerpos" (es decir tres planetas) y demostró que no es posible encontrar una solución matemática para sus órbitas. Esto significa que todo lo que se hizo hasta el momento es solamente una aproximación, que vale sólo por un tiempo, pero no por siempre.

El trabajo de Poincaré también evalúa un problema levemente distinto: si hay una diferencia entre la posición real y la posición estimada de un planeta, con el tiempo esta diferencia se va a amplificar, de manera impredecible. Para poner un ejemplo, en 1989 Jaques Laskar simuló computacionalmente el sistema solar por 200 millones de años y vio que una diferencia en la posición de la Tierra de 15 metros con respecto a la real haría imposible predecir si la Tierra aún estará en su órbita dentro de 100 millones de años (estamos hablando de un tiempo igual al que hay entre nosotros y los dinosaurios).

Esta última observación ya suena bastante conocida. En un lenguaje actual, diríamos que las órbitas de los planetas son caóticas. ¿Hay que preparar un plan para evacuar la Tierra en 100 millones de años?

¿De vuelta a la estabilidad? Introducción de la computación

No necesariamente. En 1954 Kolmogorov analiza el problema de Poincaré y resuelve lo siguiente: existe un régimen de movimiento que se llama cuasi-periodicidad. Básicamente, dentro de un sistema caótico, podés tener una combinación de condiciones bajo las cuales el movimiento es casi periódico (donde periódico significa que después de un tiempo dado volvés al mismo lugar donde empezaste). Arnold y Moser exploran algunas generalizaciones en los años posteriores, y Arnold en particular aplica los resultados a un sistema planetario simple. El punto acá es que si tenés cuasi-periodicidad no volvés exactamente al punto en el que empezaste sino muy cerca y, como vimos, un pequeño error aquí puede conducirte muy lejos. Arnold calcula que para salir de la cuasi-periodicidad necesitás tiempos tan largos como la vida del universo. Esto vale, según Arnold, si los planetas son mucho más chicos que el sol, lo cual no es así.

De acá en adelante poco se va a poder hacer analíticamente (es decir haciendo las cuentas a mano) y la computadora toma su lugar protagónico, vista su capacidad superior de cálculo. Las simulaciones recientes indican que efectivamente el sistema solar no es tan estable como Arnold suponía y que puede haber problemas en un tiempo relativamente pequeño (los 100 millones de años antes mencionados).

Límites a la predicción del clima: atractores

Hay que decir, igualmente, que un sistema puede ser caótico en tiempos "humanos". A principios de los 60, físicos y meteorólogos empezaron a aplicar el cálculo computacional en la predicción del tiempo. Esto también es un sistema dinámico, donde lo que se "mueve" es la temperatura de un lugar, la humedad, la presión, etc., además de masas de aire calientes o frías. Es algo bastante complejo, pero hay que resaltar que se conocen todas las ecuaciones que describen la evolución del clima. Uno de los físicos que trabajaban en el tema era Edward Norton Lorenz. Básicamente, de las tantas ecuaciones que intervienen en el clima, el tipo eligió estudiar sólo tres, simplificando drásticamente el problema. Literalmente pasó de estudiar el clima en su conjunto a estudiar un balde de agua que gira y está siendo calentado. En vez de enfocarse en la estabilidad de las soluciones que encontraba (soluciones que ahora no determinan la trayectoria de un planeta sino una trayectoria abstracta, compuesta por derivados del caudal y de la temperatura), se concentró en las soluciones que eran inestables, y determinó que estas soluciones son no-periódicas, es decir que no sólo no se va a volver a la situación inicial, sino que probablemente no se vuelva ni siquiera cerca. Eso es lo que hoy llamamos caos, y es lo que pasaría también en el sistema solar, pero en la meteorología se da en tiempos mucho menores y por eso decir si mañana llueve o no es tan difícil.

Entre las cosas que estudió Lorenz, también habló de estados del sistema que funcionan como atractores: un atractor es un estado al que un sistema puede converger con el paso del tiempo. Por ejemplo, si tenemos un péndulo con rozamiento, el punto donde está vertical es un atractor, porque después de cierto tiempo el péndulo se va a quedar ahí. Esto es lo que se llama un punto fijo. Existe otro tipo de atractor, el ciclo límite, que es básicamente un ciclo (es decir un movimiento que se repite constantemente) al que el sistema converge. Además, en sistemas donde hay muchas variables, puede pasar que el sistema esté en un ciclo límite para una variable y en otro ciclo límite para otra: eso es lo que pasa en lo que llamamos antes cuasi-periodicidad, y es lo que hace que veamos que hay un movimiento periódico que va cambiando. Lorenz encontró que sus ecuaciones tenían un atractor de un tercer tipo, los atractores extraños.

Figura 2: Tres tipos y medio de atractores. En sentido horario, desde arriba a la izquierda: punto fijo, ciclo límite, atractor extraño, toro invariante (cuasi-periodicidad).

Fractales

Los atractores son en definitiva regiones del espacio a donde el movimiento naturalmente va. Hay que decir que este espacio no es un espacio real, sino que está formado por variables "arbitrarias". En la vida real necesitás tres números para ubicar un punto en el espacio, pero acá podemos analizar cosas más abstractas. Por ejemplo, en el clima tal vez necesitás temperatura, presión y humedad, pero si tenés un auto en una ruta recta querés su posición y su velocidad.

Así que este espacio de posibilidades tiene una dimensión dada por la cantidad de variables que uno quiere estudiar, dejando fijas todas las demás. Ahora, un atractor es una región de este espacio que definimos. Como tal, también él tiene una dimensión, que está dada por la cantidad de variables que uno no puede dejar fijas.

Por ejemplo, el punto fijo es un punto, así que tiene dimensión 0. Ahora, el ciclo límite, que es el movimiento periódico, tiene dimensión 1, mientras que un movimiento cuasi periódico tendrá dimensión 2 (ver Figura 2). Lo nuevo del atractor extraño, que es donde el caos ocurre generalmente, es que tiene una dimensión que no es entera, sino fraccional. En el caso del atractor de Lorenz, el extraño de la Figura 2, la dimensión está estimada en 2,06. Está bien, no es mucha diferencia con respecto a 2, sin embargo hay otros que tienen dimensión 1,26. ¿Pero qué significa tener dimensión fraccional?

Figura 3: Todo depende de la vara con la que se mide. Si medís con una unidad de 100 km, el tamaño de la costa va a ser de 2800 km; si usás 50 km, la longitud será de 3600 km.

Tener una dimensión fraccional en un objeto (o fractal) es un problema de cómo se lo mide y al mismo tiempo de cómo es su forma. El ejemplo que ponía Benoit Mandelbrot es el siguiente: tenés un mapa de Inglaterra y querés saber cuál es su perímetro, es decir, la longitud de su costa. Agarrás un lápiz y la bordeás con algún nivel de detalle (Fig. 3), haciendo una línea poligonal. Después contás la cantidad de líneas iguales que hiciste y las sumás. Son 28 líneas de 100 km cada una: total, 2800 km. Si hacés lo mismo con líneas más cortas, de 50 km por ejemplo, vas a poder aproximarte al contorno con mayor detalle, así que podrías tener más que el doble de líneas. Cuando multipliques, te va a dar un número mayor, 3600 km. ¿Qué es lo que pasó? Pasa que podes tener objetos con estructuras tales que cuando cambiás la escala de la medida te encontrás con más detalles, que tenés que ir sumando. Si la cantidad de detalles es lo suficientemente grande, la suma te da cada vez mayor (es decir que diverge).

Resulta entonces que los atractores en los que hay algún tipo de movimiento periódico tienen dimensión entera, pero los atractores extraños tienen dimensión fractal. Esto tiene distintas consecuencias, pero podemos resaltar lo siguiente: al hacer zoom en un fractal, uno encuentra que la estructura del objeto es aún más fina de lo que se espera. Esto hace que se necesite muchísima precisión al realizar un cálculo, porque podés saber si estás en un atractor o no sólo si hacés suficiente zoom. Esto es lo que hace que la estabilidad del sistema solar dependa de un error en la posición de la Tierra tan chico como 15 metros. Cuanto más adelante vas en el tiempo, más zoom tenés que hacer en la práctica, y más precisión necesitás.

En conclusión

Pareciera que la propiedad fundamental del movimiento caótico es la divergencia indefinida de las trayectorias, que expresamos como "sensibilidad a las condiciones iniciales". Sin embargo, uno podría pensar en el siguiente experimento: se disparan dos balas, desde el mismo lugar, con ángulos muy parecidos. El lugar final a donde van a ir a parar va a ser muy distinto, porque el ángulo no es el mismo y, a medida que se alejan, la distancia entre las dos balas va a ir aumentando. Sin embargo, esto no es un movimiento caótico, simplemente porque el sistema es de alguna manera "abierto". Lo que falta es que algo "doble" las trayectorias sobre sí mismas. Para tener caos hacen falta las dos cosas: estirar y doblar (stretching and folding).

Un ejemplo muy simple y claro de esto es algo que las abuelas suelen conocer bien, amasar. ¿Qué es amasar? Estirar y doblar. Ni hace falta ensuciarse las manos para hacer un experimento con caos: conseguí dos bloques de plastilina de distintos colores, digamos azul y rojo, y poné uno arriba de otro. Estirá el bloque de manera que te quede más chato, como del doble de longitud; ahora doblalo sobre sí mismo. Si repetís estos dos pasos muchas veces vas a ver que los colores se mezclan, hasta que queda violeta. En realidad, las dos plastilinas no se hicieron una más azul y la otra más roja, sino que se mezclaron como en una pintura puntillista. Si mirás de cerca se pueden diferenciar.

La mezcla es algo que se da con el tiempo, y es otra manera de entender por qué es difícil predecir en un sistema caótico. Si pasa suficiente tiempo, prácticamente no se lo puede diferenciar de un sistema donde hay sólo azar, aunque el movimiento caótico esté regido por reglas donde el azar no existe. Hay que decir además que también se hace muy difícil controlar un sistema caótico, porque a largo plazo puede pasar cualquier cosa.

Y aún así, no sé si esto justifica meter a un matemático en el Parque Jurásico.

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